Question

如图抛物线y=-

3

3

x2-

2

3

3

x+

3

，x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC：
①求E点坐标；
②试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；
（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

，
令x=0，得y=

3

令y=0，
即-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

=0，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-3，0），B（1，0），C（0，

3

）（3分）

（2）①过点E作EF⊥AB于F，
∵C（0，

3

），
∴EF=

3

，
∵B（1，0），
∴AF=1，
∴OF=OA-AF=3-1=2，
∴E（-2，-

3

）（5分）
②四边形AEBC是矩形．
理由：四边形AEBC是平行四边形，且∠ACB=90°（7分）

（3）存在．（8分）
D（-1，

4 3

3

）
作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．
则点P是使△PAD周长最小的点．（10分）
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=

3

，
∴A′F=2

3

，
∴求得A′（3，2

3

）
过A′、D的直线y=

3

6

x+

3 3

2

过B、C的直线y=-

3

x+

3

两直线的交点P（-

3

7

，

10 3

7

）．（12分）