Question

【题目】如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC.

【1】求证：AD是半圆O的切线；

【2】若BC=2，CE=，求AD的长.

Answer 1

【答案】

【1】见解析。

【2】

【解析】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠BCA=90°．

又∵BC∥OD，∴OE⊥AC．

∴∠D+∠DAE=90°．

∵∠D=∠BAC，

∴∠BAC+∠DAE=90°．

∴OA⊥OD

∴AD是半圆O的切线．

（2）解：∵BC∥OD，∴△AOE∽△ABC，

∴，

又∵BA=2AO，CE=，∴AC=2CE=2．

在Rt△ABC中， AB=，

∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，

∴△DOA∽△ABC．

∴ 即．

∴AD=．