Question

如图,在矩形ABCD中,点O是边AD上的中点,点E是边BC上的一个动点,延长EO到F,使得OE=OF.

（1）当点E运动到什么位置时,四边形AEDF是菱形？（直接写出答案）
（2）若矩形ABCD的周长为20,四边形AEDF的面积是否存在最大值？如果存在,请求出最大值;如果不存在,请说明理由．
（3）若AB=,BC=,当.满足什么条件时,四边形AEDF能成为一个矩形？（不必说明理由）

Answer 1

（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形;
（2）存在.当时,四边形AEDF的面积最大为25;
（3）当m≤n时,四边形AEDF能成为一个矩形．

试题分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD,∠B=∠C=90°,求出四边形是平行四边形,根据勾股定理求出AE=DE,即可得出答案;
（2）求出S_{四边形AEDF}=2S_△AED=S_矩形ABCD,设AB=x,则BC=10﹣x,四边形AEDF的面积为y,求出y=x（10﹣x）,求出二次函数的最值即可;
（3）根据矩形能推出△BAE∽△CED,得出比例式,代入得出方程,求出方程的判别式,即可得出答案．
试题解析：（1）当点E运动到BC的中点时,四边形AEDF是菱形,
理由是：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵E为BC中点,
∴BE=CE,
由勾股定理得：AE=DE,
∵点O是边AD上的中点,OE=OF,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴平行四边形AEDF是菱形;
（2）存在.
∵点O是AD的中点,
∴AO="DO" ,
∵OE=OF,
∴四边形AEDF是平行四边形 ,
∴ ,
设AB=,则BC=,四边形AEDF的面积为,



当时,四边形AEDF的面积最大为25;
（3）当m≤n时,四边形AEDF能成为一个矩形,
理由是：设BE=z,则CE=n﹣z,
当四边形AEDF是矩形时,∠AED=90°,
∵∠B=∠C=90°,
∴∠BAE+∠BEA=90°,∠BEA+∠DEC=90°,
∴∠BAE=∠DEC,
∴△BAE∽△CED,
∴,
∴,
∴z²﹣nz+m²=0,
当判别式△=（﹣n）²﹣4m²≥0时,方程有根,即四边形AEDF是矩形,
解得：m≤n,
∴当m≤n时,四边形AEDF能成为一个矩形．