Question

请阅读材料：①一般地，n个相同的因数a相乘：记为，如2·2·2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 （即==3）．②一般地，若aⁿ=b（a>0且a≠1，b>0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即==n），如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为（即==4）．
（1）计算下列各对数的值：
4=" _____________________________" ；16="__________________________" ；
64=____________________________．
（2）观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式                                    
4，16，64又存在怎样的关系式．                                     
（3）由（2）题猜想 M+N=_____________________（a>0且a≠1，M>0，N>0），并结合幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m+n加以证明．

Answer 1

（1）2，4，6；（2）4×16=64，4+16=64；（3）㏒㏒=㏒MN，证明见试题解析．

试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．
（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；（3）由特殊到一般，得出结论：log_aM+log_aN=log_a（MN）；证明时可设log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根据幂的运算法则：aⁿ•a^m=a^n+m以及对数的含义证明结论．
试题解析：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；
（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）。证明如下：设log_aM=b₁，log_aN=b₂，则=M，=N，所以MN=，所以b₁+b₂=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．