题目内容
【题目】综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
（2）将抛物线W和OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设O′A′B′C′与OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）W=
x2-x．顶点D的坐标为（2，-1）．（2）当m=
时，S有最大值为．（3）存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
【解析】
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出顶点D的坐标；
（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图2，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值；
（3）本问涉及两个动点，解题关键是利用平行四边形的判定与性质，区分点N在x轴上方、下方两种情况，分类讨论，避免漏解．设M（t，0），利用全等三角形求出点N的坐标，代入抛物线W′的解析式求出t的值，从而求得点M的坐标．
解：（1）设抛物线W的解析式为W=ax2+bx+c，
∵抛物线W经过O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三点，
∴
，解得：
∴抛物线W的解析式为W=x2-x．
∵W=x2-x=（x-2）2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1）．
（2）由OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．
又∵C点坐标为（-2，3），
∴B点的坐标为（2，3）．
如答图2，过点B作BE⊥x轴于点E，由平移可知，点C′在BE上，且BC′=m．
∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．
∵C′B′∥x轴，
∴△BC′G∽△BEA，
∴
，即
，
∴C′G=
m．
由平移知，O′A′B′C′与OABC的重叠部分四边形C′HAG是平行四边形．
∴S=C′GC′E=m（3-m）=-（m-）2+，
∴当m=
时，S有最大值为．
（3）答：存在．
在（2）的条件下，抛物线W向右平移4个单位，再向下平移个单位，得到抛物线W′，
∵D（2，-1），∴F（6，-
）；
∴抛物线W′的解析式为：y=（x-6）2-．
设M（t，0），
以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①若点N在x轴下方，如答图3所示：
过点D作DP∥y轴，过点F作FP⊥DP于点P，
∵D（2，-1），F（6，-），∴DP=，FP=4；
过点N作NQ⊥x轴于点Q，
由四边形FDMN为平行四边形，易证△DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=，
∴N（4+t，-），
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-2）2-=-，
解得：t=0或t=4，
∴点M的坐标为（0，0）或（4，0）；
②若点N在x轴上方，
与①同理，得N（t-4，）
将点N坐标代入抛物线W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-10）2-=，
解得：t=6或t=14，
∴点M的坐标为（6，0）或（14，0）．
综上所述，存在这样的点M和点N，点M的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．
【题目】某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同.为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了
两个部门，进行了连续四周（20个工作日）的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”（单位：千克），并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.
部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：
，
，
，
）：
.部门每日餐余重量在这一组的是：6.1 6.6 7.0 7.0 7.0 7.8
.
部门每日餐余重量如下：1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
. 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：
部门 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 6.4 | | 7.0 |
| 6.6 | 7.2 | |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表
中的值；
（2）在这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是________（填“”或“”），理由是____________；
（3）结合这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量.
