Question

【题目】已知多边形是的内接正六边形，联结、，点是射线上的一个动点，联结，直线交射线于点，作交的延长线于点，设的半径为．

（1）求证：四边形是矩形．

（2）当经过点时，与外切，求的半径（用的代数式表示）．

（3）当，求点、、、构成的四边形的面积（用及含的三角比的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；

（2）连接OC、OD，证明△OCD是等边三角形得到CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求出ON=，由四边形ACDF是矩形得到∠AHC=∠ECD=30°，由此得到CH=2AC=，由cos∠HCM=，得CM=4r，MN=，利用勾股定理求出OM=，依据与外切即可得到答案；

（3）作HQ⊥CM于Q，由,MH⊥CH可得∠QHM=,再由AF∥CD，AC⊥CD知HQ=AC=,继而求得CQ=，MQ=，则CM=,再分、、三种情况分别求解即可.

（1）∵多边形是的内接正六边形，

∴AB=AC，∠ABC=∠BAF=,

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

∴∠BAC=30°，

∴∠CAF=90°，

同理∠ACD=90°，∠AFD=90°，

∴四边形ACDF是矩形；

（2）如图1，连接OC、OD，

由题意得：OC=OD，

∴△OCD是等边三角形,

作ON⊥CD，垂足为N，

∴ CN=CD=r，由得，

作OP⊥AC于点P，

∴CP=AC，

∵∠OCP=90°-60°=30°

∴CP=，

∴AC=，

当CH经过点E时，可知∠ECD=30°

∵四边形ACDF是矩形，

∴AF∥CD

∴∠AHC=∠ECD=30°，

在Rt△ACH中，CH=2AC=，

∵MH⊥CH，

∴cos∠HCM=，得CM=4r

∴MN=，

在Rt△MON中，OM==,

∵与外切，

∴，即的半径为，

（3）如图2，

作HQ⊥CM于Q，

由，MH⊥CH可得∠QHM=

∵AF∥CD，AC⊥CD

∴HQ=AC=

∴，

∴CM=,

①当时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，

∵FH=DQ=CQ-CD=，

∴S=；

②当时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去；

③时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，

∵FH=DQ=CD-CQ=，

∴S=

综上，点、、、构成的四边形的面积或.