题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是AB延长线上一点,∠BCP=∠A.
(1)求证:直线PC是⊙O的切线;
(2)若CA=CP,⊙O的半径为2,求CP的长.
【答案】(1)见解析;(2)2
【解析】
(1)欲证明PC是⊙O的切线,只要证明OC⊥PC即可;
(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题.
(1)∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO,
∵∠PCB=∠A,
∴∠ACO=∠PCB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半径,
∴PC是⊙O的切线;
(2)∵CP=CA,
∴∠P=∠A,
∴∠COB=2∠A=2∠P,
∵∠OCP=90°,
∴∠P=30°,
∵OC=OA=2,
∴OP=2OC=4,
∴PC==2.
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