题目内容

【题目】已知□ABCD中,直线m绕点A旋转,直线m不经过BCD点,过BCD分别作BEmE CFmF DGmG

(1)当直线m旋转到如图1位置时,线段BECFDG之间的数量关系是 _;

(2)当直线m旋转到如图2位置时,线段BECFDG之间的数量关系是 _;

(3)当直线m旋转到如图3的位置时,线段BECFDG之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并加以证明.

【答案】见解析

【解析】解:

1)如图1,过CCM⊥DG,交DG的延长线于点M

∵DM⊥CMCF⊥AFCM⊥DG

∴∠DMC=∠CFG=∠AEB=90°

四边形GFCM为矩形,

∴FG∥CMFC=GM

四边形ABCD为平行四边形,

∴CD=ABCD∥AB

∴∠DOG=∠BAE=∠DCM

△CDM△ABE

∴△CDM≌△ABEAAS),

∴DM=BE

∴BE=DG+GM=CF+DG

故答案为:BE=CF+DG

2)如图2,过DDN⊥CF,交CF于点N,延长CDAF于点P

∵DG⊥AFCF⊥AF

四边形DGFN为矩形,

∴ND∥AF,且DG=NF

四边形ABCD为平行四边形,

∴AB=CD,且AB∥CD

∴∠CDN=∠DPG=∠BAE

△CDN△BAE

∴△CDN≌△BAEAAS),

∴CN=BE

∴CF=CN+DF=BE+DG

故答案为:CF=BE+DG

3)猜想:DG=BE+CF

证明:如图3,过CCH⊥DGH

∵CF⊥mDG⊥m

四边形CFGH是矩形,

∴CF=HG

∵DG⊥mBE⊥m

∴∠DGE=∠BEG=90°

∴DG∥BE

∴∠ABE=∠AMG

∵□ABCD

∴AD∥BCCD=AB

∴∠CDH=∠AMG

∴∠CDH=∠ABE

△CDH△ABE

∴△CDH≌△ABEAAS),

∴DH=BE

∴DG=DH+HG=BE+CF

∴DG=BE+CF

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