Question

【题目】如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（　　）

A.8B.4C.10D.8

Answer 1

【答案】C

【解析】

通过正方形的性质可以证明Rt△ABM∽Rt△MCN，设BM＝x，可得CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，根据二次函数的性质，可得CN的最大值，再根据勾股定理即可求出AN的长度．

解：在正方形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，

∵AM⊥MN，

∴∠AMN＝90°，

∴∠CMN+∠AMB＝90°．

在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠BAM＝∠CMN，

∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

设BM＝x，

∴，即

整理得：CN＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，

∴当x＝4时，CN取得最大值2，

∵

∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN＝6时，AN最小，

则AN＝＝10，

故选：C．