Question

【题目】如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．

（1）试猜想AE与GC有怎样的关系，并证明你的结论．

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） AE⊥GC ，AE=GC ；（2）成立，证明详见解析

【解析】

（1）观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1＝∠2，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．

（2）题（1）的结论仍然成立，参照（1）题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5＝∠4，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6＝∠7；由图知∠AEB＝∠CEH＝90°－∠6，即∠7＋∠CEH＝90°，由此得证．

解：（1）AE⊥GC，理由如下：

如图1，延长GC交AE于点H，

在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，∠ADE＝∠CDG＝90°，DE＝DG，

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴∠1＝∠2；

∵∠2＋∠3＝90°，

∴∠1＋∠3＝90°，

∴∠AHG＝180°－（∠1＋∠3）＝180°－90°＝90°，

∴AE⊥GC．

（2）成立，理由如下：

如图2，延长AE和GC相交于点H，

在正方形ABCD和正方形DEFG中，

AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠DCB＝∠B＝∠BAD＝∠EDG＝90°，

∴∠1＝∠2＝90°－∠3；

在△ADE和△CDG中，

，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴∠5＝∠4；

又∵∠5＋∠6＝90°，∠4＋∠7＝180°－∠DCE＝180°－90°＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠6＋∠AEB＝90°，∠AEB＝∠CEH，

∴∠CEH＋∠7＝90°，

∴∠EHC＝90°，

∴AE⊥GC．