Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC是以AC为斜边的Rt△时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设过点A的直线与抛物线在第一象限的交点为N，当△ACN的面积为

15

8

时，求直线AN的解析式．

Answer 1

（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
故抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，对称轴为：直线x-

b

2a

=1；

（2）设点P（1，y）是直线l上的一个动点，作CF⊥l于F，l交x轴于E，
则AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，
AP²=AE²+PE²=4+y²，∴由CP²+AP²=AC²，
得：y²-6y+10+4+y²=10，解得y=1或y=2，
则P点的坐标为P₁（1，1）、P₂（1，2）；

（3）设点M（1，m），与（2）同理可得：AC²=10，CM²=m²-6m+10，AM²=4+m²
①当AC=CM时，10=m²-6m+10，解得：m=0或m=6（舍去），
②当AC=AM时，10=4+m²，解得：m=

6

或m=-

6

，
③当CM=AM时，m²-6m+10=4+m²，解得：m=1，
检验：当m=6时，M、A、C三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点有4个，
M坐标为（1，0）、（1，

6

）、（1，-

6

）、（1，1）；

（4）设直线AN的解析式为y=kx+b，且交y轴于点K，
∵过点A（-1，0），
∴y=kx+k，
∴K（0，k），
∵N是直线AN与抛物线的交点，
∴kx+k=-x²+2x+3，解得x=3-k或x=-1（舍去），
∵N点的横坐标为x=3-k（k＜3），
由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=

1

2

CK•OA+

1

2

CK•NJ=

1

2

（3-k）×1+

1

2

（3-k）²
=

1

2

（k²-7k+12），
令

15

8

=

1

2

（k²-7k+12），
解得k=

11

2

（舍去），或k=

3

2

，
故直线AN的解析式为y=

3

2

x+

3

2

．