题目内容

14.己知AD∥CE,点B为直线AD、CE所确定的平面内一点.
(1)如图1所示,求证:∠ADB=∠B+∠BFE.
(2)如图2,FG平分∠BFE,DG交FG于点G交BF于点H,且∠BDG:∠ADG=2:1,∠B=20°,∠DGF=30°,求∠BHD的度数.

分析 (1)先延长BD交EF于N,根据平行线的性质以及∠BNE是△BFN的外角,可求得∠ADB=∠B+∠BFE;
(2)延长BD交FE于M,设∠BDG=α,根据AD∥FE,得出∠ADB=∠EMB=$\frac{3}{2}$α,再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义,求得∠BFE=2α-20°,最后根据∠BFE是△BMF的外角,可得∠BFE=∠B+∠BME,得到2α-20°=20°+$\frac{3}{2}$α,求得∠BDH=80°,即可得到∠BHD=180°-20°-80°=80°.

解答 解:(1)如图1,延长BD交EF于N,
∵AD∥CE,
∴∠ADB=∠ENB,
∵∠BNE是△BFN的外角,
∴∠BNE=∠B+∠BFE,
∴∠ADB=∠B+∠BFE;

(2)如图2,延长BD交FE于M,设∠BDG=α,
∵∠BDG:∠ADG=2:1,
∴∠ADB=α+$\frac{1}{2}$α=$\frac{3}{2}$α,
∵AD∥FE,
∴∠ADB=∠EMB=$\frac{3}{2}$α,
∵DG交BF于点H,∠B=20°,∠DGF=30°,
∴∠BFG=α-10°,
∵FG平分∠BFE,
∴∠BFE=2α-20°,
∵∠BFE是△BMF的外角,
∴∠BFE=∠B+∠BME,
即2α-20°=20°+$\frac{3}{2}$α,
解得α=80°,
∴∠BDH=80°,
∴△BDH中,∠BHD=180°-20°-80°=80°.

点评 本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造三角形,运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算.

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