Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连结AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连结C′D交AB于点E，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE的长为 ．

Answer 1

【答案】 或
【解析】解：如图1所示；点E与点C′重合时．
在Rt△ABC中，BC= =4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．
设DC=ED=x，则BD=4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2=DB2 ， 即x2+22=（4﹣x）2 ．
解得：x= ．
∴DE= ．
如图2所示：∠EDB=90时．

由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．
∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，
∴四边形ACDC′为矩形．
又∵AC=AC′，
∴四边形ACDC′为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC﹣DC=4﹣3=1．
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA．
∴ ，即 ．
解得：DE= ．
点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．
故答案为： 或 ．
点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性质可知：AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4﹣x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°，然后证明四边形ACDC′为正方形，从而求得DB=1，然后证明DE∥AC，△BDE∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DE= ．