题目内容
【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合),以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想:如图(1),当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系是:;
②BC、CD、CF之间的数量关系为:(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考:如图(2),当点D在线段CB的延长线上时,上述①、②中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
【答案】
(1)BC⊥CF;BC=CF+CD
(2)
解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,
∵ ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°.
∴∠ABD=180°﹣45°=135°,
∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,
∴CF⊥BC.
∵CD=DB+BC,DB=CF,
∴CD=CF+BC
【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,
∵ ,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故答案为:BC⊥CF;
②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故答案为:BC=CF+CD;
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.