题目内容

【题目】如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,ABAC,点D BC上,且BDBA,点EBC的延长线上,且CECA

(1)试求∠DAE的度数.

(2)如果把第(1)题中ABAC的条件舍去,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?

(3)如果把第(1)题中BAC=90°”的条件改为BAC>90°”,其余条件不变,那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系?

【答案】(1)45°;(2)不改变;(3)DAE=BAC

【解析】试题分析:(1)要求∠DAE,必先求∠BAD和∠CAE,由∠BAC=90°,AB=AC,可求∠B=∠ACB=45°,又因为BD=BA,可求∠BAD=∠BDA=67.5°,再由CE=CA,可求∠CAE=∠E=22.5°,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度;
(2)先设∠CAE=x,由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x,∠B=90°-2x,又因为BD=BA,所以∠BAD=∠BDA=x+45°,再根据三角形的内角和是180°,可求∠BAE=90°+x,即∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45度;
(3)可设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,即∠DAE=∠BAC.

试题解析:(1)AB=ACBAC=90°,

∴∠B=ACB=45°,

BD=BA,

∴∠BAD=BDA=(180°-B)=67.5°,

CE=CA,

∴∠CAE=E=ACB=22.5°,

ABE中,∠BAE=180°-B-E=112.5°,

∴∠DAE=BAE-BAD=112.5°-67.5°=45°;

(2)不改变.

设∠CAE=x,

CA=CE,

∴∠E=CAE=x,

∴∠ACB=CAE+E=2x,

ABC中,∠BAC=90°,

∴∠B=90°-ACB=90°-2x,

BD=BA,

∴∠BAD=BDA=(180°-B)=x+45°,

ABE中,∠BAE=180°-B-E

=180°-(90°-2x)-x=90°+x,

∴∠DAE=BAE-BAD

=(90°+x)-(x+45°)

=45°;

(3)DAE=BAC,

理由:设∠CAE=xBAD=y,

则∠B=180°-2yE=CAE=x,

∴∠BAE=180°-B-E=2y-x,

∴∠DAE=BAE-BAD=2y-x-y=y-x,

BAC=BAE-CAE=2y-x-x=2y-2x,

∴∠DAE=BAC.

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