题目内容
如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，CD交⊙O于点D，且∠A=∠C=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请判断线段AC是BC的多少倍，并说明理由．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）请判断线段AC是BC的多少倍，并说明理由．
（1）证明：连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等边三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，
故DC是⊙O的切线；
（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等边三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．
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