Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

小题1:求证：DE是⊙O的切线；
小题2:若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer 1

 
小题1:见解析
小题2:AE＝ BC=3

（1）连接OC．                  
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF
∴∠1＝∠2                         
∵OA=OC
∴∠2＝∠3                                     
∴∠1＝∠3
∴OC∥AE
∴OC⊥CD
∴DE是⊙O的切线．                 
（2）∵AB=6，
∴OB=OC=AB=3．
在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，
∴∠D＝30°，∠COD＝60°．     
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，
∴AE＝AD=．
在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC=OB=3．