Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°AE⊥CD于E，DE=3，AE=4，对角线BD平分∠ADC．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）一动点P从D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线DA---AB匀速运动，另一动点Q从E点出发，以每秒1个单位长度的速度沿EC匀速运动．P、Q同时出发，当Q与C重合时，P、Q停止运动．设运动时间x秒（x＞0）．在整个运动过程中，设是否存在这样时刻，直线PQ将梯形ABCD的面积平分？若存在，求出x值．
（3）如图2，动点P从D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段DA运动到A后，可沿线段AB运动，过P作PF∥AD交直线BC于G点，交直线DC于F点，在线段AB上是否存在H点，使得△FGH为等腰直角三角形？若存在，求出对应的BH的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据角平分线及平行线的性质，可得出∠ADB=∠ABD，继而得出AD=AB，在Rt△ADE中求出AD，代入梯形ABCD的面积公式计算即可．
（2）分段讨论，①0＜x≤2.5时，点P在DA上运动，表示出△DPQ的面积；②2.5＜x＜5时，点P在AB上运动，表示出四边形PBCQ的面积，由PQ将梯形ABCD的面积平分，建立方程，解出即可作出判断；
（3）假设存在点H，过点H作HM⊥CD于点M，从而可证明△HBG≌△HMF，继而得出BH=HM=4．

解答：解：（1）如图1所示：

∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=5，
∴AB=AD=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）×AE=

1

2

×13×4=26．
故梯形ABCD的面积是26．

（2）当0＜x≤2.5时，点P在DA上运动，过点P作PF⊥DC，如图2所示：
，
PD=2x，DQ=3+x，
∵AE⊥DC，
∴PF∥AE，
∴

DP

AD

=

PF

AE

，
∴PF=

8

5

x，
∴S_△DPQ=

1

2

DQ×PF=

12x+4x2

5

=

1

2

S_梯形ABCD，即4x²-12x+65=0，
解得：x=

-3± 74

2

，
∵0＜x≤2.5，
∴此时不存在这样的x值；
②当2.5＜x＜5时，如图3所示：

PB=10-2x，CQ=5-x，
∴S_梯形PBCQ=

1

2

（CQ+BP）×CB=30-6x=

1

2

S_梯形ABCD，即30-6x=13，
解得：x=

17

6

，
∵2.5＜x＜5，
∴当x=

17

6

时直线PQ将梯形ABCD的面积平分．

（3）假设存在点H，过点H作HM⊥CD于点M，如图4所示：

∵△FGH是等腰直角三角形，
∴∠GHF=90°，HG=HF，
∵∠MHF+∠FHB=∠BHG+∠FHB=90°，
∴∠MHF=∠BHG，
在Rt△HMF和Rt△HBG中，

∠HMF=∠HBG ∠MHF=∠BHG HF=HG

，
∴Rt△HMF≌Rt△HBG（AAS），
∴BH=BM=4．
即当BH=4时，△FGH是等腰三角形．

点评：本题考查了四边形的综合，涉及了动点问题，梯形的面积及全等三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，解答此类综合题，要求同学们具有扎实的基本功，熟练数形结合思想及分类讨论思想的熟练运用．