Question

如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD=CM，点F为AB上的点，且∠ECF=

1

2

∠B．
（1）若菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD的面积；
（2）求证：BF=EF-EM．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）首先过点D作DH⊥MC于点H，由菱形ABCD的周长为8，且∠D=67.5°，易求得∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，然后由勾股定理求得DH的长，继而求得△MCD的面积；
（2）首先延长AB到N，使BN=EM，连接CN，易证得△BNC≌△MEC（SAS），继而证得△NCF≌△ECF（SAS），则可证得BF=EF-EM．

解答：解：（1）过点D作DH⊥MC于点H，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴CD=2，
∵CD=CM，且∠D=67.5°，
∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，
在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=

2

，
∴S_△MCD=

1

2

CM•DH=

1

2

×2×

2

=

2

；

（2）延长AB到N，使BN=EM，连接CN，
∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，
∴BC=CM，∠2=∠ABC，
∵∠1+∠ABC=∠2+∠5
∴∠1=∠5
在△BNC和△MEC中，

BN=ME ∠1=∠5 BC=CM

，
∴△BNC≌△MEC（SAS），
∴∠4=∠3，CE=NC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠BCM=∠ABC，
∵∠ECF=

1

2

∠ABC，
∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，
在△NCF和△ECF中，

NC=EC ∠NCF=∠ECF CF=CF

，
∴△NCF≌△ECF（SAS），
∴FN=EF，
EF=FB+NB=FB+EM，
∴FB=EF-EM．

点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．