Question

【题目】（1）已知等边△ABC内接于⊙O．点P为上的一个动点，连结PA、PB、PC．

①如图1，当线段PC经过点O时，试写出线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并说明理由；

②如图2，点P为上的任意一点（点P不与点A、点B重合），试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，∠BAC的外角平分线交△ABC的外接圆于点P，PE⊥AC于E，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）①PA+PB＝PC，理由详见解析；②PA+PB＝PC，理由详见解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠PAC＝∠PBC＝90°，由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，求出∠ACP＝∠BCP＝30°，由直角三角形的性质得出PA＝PC，PB＝PC，即可得出结论；

②在PC上截取PD＝PA，连接AD，证明△APD是等边三角形，得出AD＝AP＝PD，∠PAD＝60°＝∠BAC，证出∠DAC＝∠PAB，证明△ACD≌△ABP（SAS），得出DC＝PB，即可得出结论；

（2）在AC上截取ED＝AE．连接PD并延长交圆O于G．连接CG，由线段垂直平分线的性质得出PA＝PD，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出得出∠PAD＝∠PDA＝∠CDG．∠PAD＝∠G．得出∠CDG＝∠G，证出CG＝CD，证出∠BAC＝180°﹣2∠PAD＝180°﹣（∠PAD+∠PDA）＝∠APG．得出 ，得出，证出AB＝CG．即可得出答案．

解：（1）①，理由如下：

线段经过点，

是的直径，

，

是等边三角形，

，

，

，，

；

②，理由如下：

在上截取，连接，如图2所示：

是等边三角形，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

在和中，，

，

，

；

（2）在上截取．连接并延长交圆于．连接，如图3所示：

，，

，

．

．

，

，

又平分，

．

，

．

，即，

．