题目内容
【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1＞y2．其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】D
【解析】
根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
由抛物线的开口可知：a＜0，由抛物线与y轴的交点可知：c＜0，由抛物线的对称轴可知：
＞0，∴b＞0，∴abc＞0，故①正确；
令x=3，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②正确；
∵OA=OC＜1，∴c＞﹣1，故③正确；
∵对称轴为直线x=2，∴﹣
=2，∴b=﹣4a．
∵OA=OC=﹣c，∴当x=﹣c时，y=0，∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=
，∴设关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为x，∴x﹣c=4，∴x=c+4=
，故④正确；
∵x1＜2＜x2，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵2﹣x1﹣（x2﹣2）=2﹣x1﹣x2+2=4﹣（x1+x2）＜0，
即x1到对称轴的距离小于x2到对称轴的距离，∴y1＞y2，故⑤正确．
故选D．
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