题目内容

如图,已知C,D是双曲线y=
m
x
(x>0)上的两点,直线CD分别交x轴,y轴于A,B两点.设C(x1,y1,D(x2,y2),连接OC,OD(O是坐标原点),若∠BOC=∠AOD=α,且tanα=
1
3
,OC=
10

(1)求C,D的坐标和m的值;
(2)双曲线存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下判断点P是否为△OCD的重心.
(4)已知点Q(-2,0),问在直线AC上是否存在一点M使△MOQ的周长L取得最短?若存在,求出L的最小值并证明;若不存在,请说明理由.
(1)过点C作CG⊥x轴于G,
则CG=y1,OG=x1
在Rt△OCG中,∠GCO=∠BOC=α,
∵tanα=
OG
CG
=
1
3

x2
x1
=
1
3

即y1=3x1
又∵OC=
10

∴x12+y12=10,
即x12+(3x12=10,
解得:x1=1或x1=-1(不合舍去)
∴x1=1,y1=3,
∴点C的坐标为C(1,3).
又点C在双曲线上,可得:m=3,
过D作DH⊥y轴于H,则DH=y2,OH=x2
在Rt△ODH中,tanα=
DH
OH
=
1
3

x2
y2
=
1
3

即y2=3x2
又∵x2y2=3,
∴y2=1或y2=-1(不符合舍去),
∴x2=3,y2=1,
∴点D的坐标为D(3,1);

(2)双曲线上存在点P,使得S△POC=S△POD
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的y=
3
x
交点,
故P点坐标为(
3
3
),
∵点D(3,1),
∴OD=
10

∴OD=OC,
∴点P在∠COD的平分线上,
则∠COP=∠POD,又OP=OP
∴△POC≌△POD,
∴S△POC=S△POD

(3)延长OP交CD于M,
∵C(1,3),D(3,1),
∴根据勾股定理OC=OD=
10

∵点P在∠COD的平分线上,
∴M为CD中点,
∴M(2.,2),
∵P点坐标为(
3
3
),
∴OP=
6
,PM=
(
3
-2)2+(
3
-2)2
=-
6
+2
2

即OP≠2PM,
∴P不是△OCD的重心.

(4)∵点C的坐标为C(1,3),点D的坐标为D(3,1),
设直线CD的解析式为y=kx+b.
则有
3=k+b
1=3k+b
,解得
k=-1
b=4

∴直线CD的解析式为y=-x+4,
∵Q(-2,0),假设存在M(a,-a+4),则点M关于x轴的对称点M′为(a,4-a),
∴△MOQ的周长L=2+
2a2-4a+20

=2+
2(a-1)2+18

所以当a=1时,周长L取最小值为2+3
2

此时点M(1,3),故L取最小值为2+3
2
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