Question

如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c得：，解得：。
∴抛物线解析式为：y=x²+2x﹣3。
（2）令y=0得：0=x²+2x﹣3，解得：x₁=1，x₂=﹣3。
∴C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，
∴S_△ABC=AC×OB=×4×3=6。
（3）存在。
易得抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意，
根据勾股定理，得。
分三种情况讨论：
①当AM=AB时，，解得：。
∴M₁（﹣1，），M₂（﹣1，）。
②当BM=AB时，，解得：M₃=0，M₄=﹣6。
∴M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6）。
③当AM=BM时，，解得：m=﹣1。
∴M₅（﹣1，﹣1）。
综上所述，共存在五个点使△ABM为等腰三角形，坐标为M₁（﹣1，），M₂（﹣1，），M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6），M₅（﹣1，﹣1）。

试题分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式。
（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算。
（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案。