Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD，B（5，3），∴A（5，0），C（0，3）。
∵点A（5，0），C（0，3）在抛物线上，
∴，解得：。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=3。
如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（3，0）。

令y=0，即，解得x=1或x=5。
∴D（1，0）。∴DH=2，AH=2，AD=4。
∵，∴GH=DH•tan∠ADB=2×=。
∴G（3，）。
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，∴MG•DH+MG•AH=6，即： MG×2+MG×2=6。
解得：MG=3。
∴点M的坐标为（3，）或（3，）。
（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=。
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：
①若PD=PQ，如答图2所示，

此时有PD=PQ=BQ=t，过点Q作QE⊥BD于点E，
则BE=PE，BE=BQ•cosB=t，QE=BQ•sinB=t，
∴DE=t+t=t。
由勾股定理得：DQ²=DE²+QE²=AD²+AQ²，
即（t）²+（t）²=4²+（3﹣t）²，整理得：11t²+6t﹣25=0，
解得：t=或t=﹣5（舍去）。
∴t=。
②若PD=DQ，如答图3所示，

此时PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，
∴t=7﹣t。∴t=。
③若PQ=DQ，如答图4所示，

∵PD=t，∴BP=5﹣t。
∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3。
过点P作PF⊥AB于点F，
则PF=PB•sinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PB•cosB=（5﹣t）×=3﹣t。
∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t。
过点P作PE⊥AD于点E，则PEAF为矩形，
∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t。∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7。
在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ²+PE²=PQ²，即：（t﹣7）²+（t）²=（7﹣t）²，
整理得：13t²﹣56t=0，解得：t=0（舍去）或t=。
∴t=。
综上所述，当t=或t=或t=时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形。

试题分析：（1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解。
（3）△DPQ为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论：
①若PD=PQ，如答图2所示；②若PD=DQ，如答图3所示；③若PQ=DQ，如答图4所示。