Question

【题目】已知正方形的边长为6，点是直线上一点，且，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，则线段的长为__________．

Answer 1

【答案】4或16

【解析】

分为两种情况：P在DA的延长线上时，P在AD的延长线上时，连接BE，根据线段垂直平分线求出PE=BE，根据勾股定理求出BE，根据全等求出BQ=PE，即可得出答案．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分为两种情况：

①如图1所示：P在DA的延长线上时，QE交直线AD于E，与BP交于O，

连接BE，
∵QE是BP的垂直平分线，
∴PE=BE，，
设PE=BE=x，则AE=x-2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
(x-2)2+62=x2，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中，

，

∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如图2所示：P在AD的延长线上时，

同理：BQ=10，
此时CQ=10-6=4；
故答案为：4或16．