Question

已知，如图二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

Answer 1

（1）点D的坐标为（2，4）．
（2）当t=1时，S_△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；
（3）满足条件的点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）．

试题分析：（1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解；
（2）先求得A，B点的坐标，过点E作EG⊥QB，根据相似三角形的判定和性质可得EG= ，由于S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ，配方后即可得到S_△DQE有最大值时Q点的坐标；
（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF′的解析式为：y=3x-2，长而得到满足条件的点M和点N的坐标．
（1）由题意有：，
解得：．
所以，二次函数的解析式为：y=-x²+x+4，
∵点D（2，m）在抛物线上，即m=-×2²+2+4=4，
所以点D的坐标为（2，4）．
（2）令y=0，即-x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2，
∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0），
如图1，过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ与△BDA相似，
∴ ，即，
∴EG=，
∴S_△BEQ=×（4-t）×，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ
=×（4-t）×4-S_△BEQ
=2（4-t）-（4-t）²
=-t²+t+
=-（t-1）²+3，
∴当t=1时，S_△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；

（3）由A（-2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），
如图2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为：2+2．
此时直线DF′的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）．