Question

如图，在⊙O中，弦AB与半径相等，连接OB并延长，使BC=OB．
（1）试判断直线AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）请你在⊙O上找到一个点D，使AD=AC（完成作图，证明你的结论），并求∠ABD的度数．

Answer 1

（1）AC与⊙O相切．（1分）
证明：如图，∵AB与半径相等，即AB=OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．
∵BC=OB=AB，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴∠OAC=90°，（2分）
∴AC与⊙O相切．

（2）延长BO交⊙O于D，连接AD，则必有AD=AC．（3分）
证明：∵∠BOA=60°，OA=OD，
∴∠D=30°．
又∵∠C=30°，
∴∠C=∠D，
∴AD=AC．（4分）
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABD=60°．（5分）
或作AD₁⊥OC交⊙O于D₁，交OC于E，连接BD₁，则必有AD₁=AC．（3分）
证明：∵∠C=30°，AD₁⊥OC，
∴AE=

1

2

AC．
又∵AE=

1

2

AD₁，
∴AC=AD₁．（4分）
由OE⊥AD1，得到

AB

=

BD1

，
∴∠BAD₁=∠BD₁A=

1

2

∠AOB=30°，
∴∠ABD₁=120°．（5分）