Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是

BD

的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=

1

2

∠BOD，
∴∠BOC=

1

2

∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴

DE

=

BE

，
则点E是

BD

的中点；（2分）

（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；（3分）

（3）在△ADG中，∵sinA=

DG

AD

=

4

5

，
设DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；（2分）
∴x₁=

6

5

，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×

6

5

=

48

5

（3分）．