Question

（1）如图①已知AB是⊙O直径，P是AB上一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D，试证明：△CDQ是等腰三角形；
（2）对第（1）题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变；如图②，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）连接OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
即：∠QCD+∠ACO=90°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A．
∴∠QCD+∠A=90°．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠A=90°．
∴∠Q=∠QCD，
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．

解：（2）成立．
连接OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，即：∠QCD+∠ACO=90°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠OAC=∠QAP，
∴∠ACO=∠QAP．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠QAP=90°．
∴∠Q+∠ACO=90°，
∴∠Q=∠QCD．
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．
分析：（1）连接OC，则OC⊥CD．根据平角的定义，有∠DCQ+∠OCA=90°．又∠A+∠Q=90°，∠A=∠OCA，可得∠DCQ=∠Q．问题得证．
（2）同理可证结论成立．
点评：此题考查了切线的性质和等腰三角形的判定，难度中等．
已知直线与圆相切于圆上一点，连接圆心和切点构成垂直关系是常作的辅助线．