Question

【题目】如图1，有一张矩形纸片已知现将纸片进行如下操作:现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上(如图2)；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上(如图3)，给出四个结论：①的长为；②的周长为③；④的长为其中正确的结论有（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

过G点作MN∥AB，交AD、BC于点M、N，可知四边形ABEF为正方形，可求得AF的长，可判断①，且△BNG和△FMG为等腰三角形，设BN=x，则可表示出GN、MG、MD，利用折叠的性质可得到CD=DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，则可求得BH，容易判断②③④，可得出答案．

解：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=12，
由折叠可得AB=BE，且∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AF=AB=10，
故①正确；
∵MN∥AB，
∴△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且MN=AB=10，
设BN=x，则GN=AM=x，MG=MN-GN=10-x，MD=AD-AM=12-x，
又由折叠的可知DG=DC=10，
在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2=GD2，
即（12-x）2+（10-x）2=102，解得x=4，
∴GN=BN=4，MG=6，MD=8，
又∠DGH=∠C=∠GMD=90°，
∴∠NGH+∠MGD=∠MGD+∠MDG=90°，
∴∠NGH=∠MDG，且∠DMG=∠GNH，
∴△MGD∽△NHG，
∴，即，
∴NH=3，GH=CH=5，
∴BH=BC-HC=12-5=7，
故④正确；
又△BNG和△FMG为等腰直角三角形，且BN=4，MG=6，
∴BG=，GF=，
∴△BGH的周长=BG+GH+BH=+5+7=12+，

∴，
故②不正确；③正确；
综上可知正确的为：①③④，
故选：C．