题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx-3(a≠0)与x轴交于点
A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点M,使 =5:2,求M点坐标。

【答案】
(1)

解:把点A(-2,0)、B(4,0)分别代入y=ax+bx-3(a≠0),得

解得

所以该抛物线的解析式为:y= x- x-3.


(2)

解:设运动时间为t秒,则AP=3t,BQ=t.

∴PB=6-3t.

由题意得,点C的坐标为(0,-3).

在Rt△BOC中,BC= =5

如下图,过点Q作QH⊥AB于点H.

∴QH∥CO,

∴△BHQ∽△BOC,

,即

∴HQ= t.

= PB HQ= (6-3t) t=- t+ t=- (t-1)+ .

当△PBQ存在时,0<t<2

∴当t=1时, =

答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是 .


(3)

解:设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).

把B(4,0),C(0,-3)代入,得

解得

∴直线BC的解析式为y= x-3.

∵点M在抛物线上.

∴设点M的坐标为(m, m- m-3)

如下图,过点M作ME∥y轴,交BC于点E.则点E的坐标为(m, m-3).

∴EM= m-3-( m- m-3)=- m+ m.

当△PBQ的面积最大时,∵S△CBM:S△PBQ=5:2,S△PBQ= .

∴S△CBM= .

S△CBM=S△CEM+S△BEM= EMm+ EM(4-m)

= ×4EM

=2×(- m+ m)

=- m+3m.

即:- m+3m= .

解得m1=1,m2=3.

∴M1(1,- ),M2(3,- ).


【解析】(1)把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b的解析式,通过解方程组求得它们的值;(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=- (t-1)+ 。利用二次函数的图象性质进行解答;(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y= x-3,由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为(m, m- -3). 如图,过点M作ME∥y轴,交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得S△CBK= .则根据图形得到:S△CBK=S△CEK+S△BEK= EMm+ EK(4-m),把相关线段的长度代入推知:- m+3m= .易求得M1(1,- ),M2(3,- ).
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点),还要掌握二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键.

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