题目内容
如图，△ABC中，∠CAB与∠CBA均为锐角，分别以CA、CB为边向△ABC外
侧作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD1⊥直线AB于D1，FF1⊥直线AB于F1．
求证：（Ⅰ）DD1+FF1=AB；
（Ⅱ）线段AB的中点N也平分线段D1F1．
侧作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD1⊥直线AB于D1，FF1⊥直线AB于F1．求证：（Ⅰ）DD1+FF1=AB；
（Ⅱ）线段AB的中点N也平分线段D1F1．
证明：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB；
（2）设M为DF的中点，Q为D1F1的中点，
则：MQ=
(DD1+EE1)=
AB且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴AB的中点N就是D1E1的中点．
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB；
（2）设M为DF的中点，Q为D1F1的中点，
则：MQ=
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当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴AB的中点N就是D1E1的中点．
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