题目内容

正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.求证:
①△ABG≌△AFG;
②BG=GC.
证明:(1)∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴△ADE≌△AFE,
∴AD=AF,∠D=∠AFE=90°,
又∵ABCD为正方形,
∴AD=AB,∠D=∠B=90°,
∴AB=AF,∠B=∠AFG=∠D=90°,
在△ABG和△AFG中,
AG=AG
AB=AF

∴△ABG≌△AFG(HL);

(2)设BG=x,
∵正方形ABCD中,AB=6,
∴AB=BC=CD=6,
∴CG=6-x,
又∵CD=3DE,
∴CG=2,CE=4,
又∵△ADE≌△AFE,
∴EF=DE=2,
又∵△ABG≌△AFG,
∴BG=GF=x,
∴EG=2+x,
∴在Rt△GCE中,GE2=GC2+EC2
(2+x)2=(6-x)2+42
∴x=3,
∴BG=3,CG=3,
∴G为BC中点.
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