题目内容
△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=90°,AC=BC=2,
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s
1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s
2(如图2),则s
2=______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s
3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s
10=______;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.

(1)解法1:如图甲,由题意,得AE=DE=EC,即EC=1,S
正方形CFDE=1
2=1
如图乙,设MN=x,则由题意,得AM=MQ=PN=NB=MN=x,
∴
3x=2,
解得
x=∴
S正方形PNMQ=()2=又∵
1>∴甲种剪法所得的正方形面积更大.
说明:图甲可另解为:由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点,S
正方形OFDE=1.
解法2:如图甲,由题意得AE=DE=EC,即EC=1,
如图乙,设MN=x,则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x,
则
3x=2,
解得
x=,
又∵
1>,即EC>MN.
∴甲种剪法所得的正方形面积更大.
(2)
S2=,
S10=.
(3)解法1:探索规律可知:
Sn=剩余三角形面积和为2-(S
1+S
2+…+S
10)=2-(1+
+…+
)=
解法2:由题意可知,
第一次剪取后剩余三角形面积和为2-S
1=1=S
1第二次剪取后剩余三角形面积和为
S1-S2=1-==S2,
第三次剪取后剩余三角形面积和为
S2-S3=-==S3,
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为
S9-S10=S10=.
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