Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上的一动点，且位于AB之间，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，设P点横坐标为x，△PCE的面积为S，请求出S关于x的解析式，并求△PCE面积的最大值；
（3）点为D（﹣2，0），若点M是线段AC上一动点，是否存在M点，能使△OMD是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（﹣4，0），B（2，0）分别代入中，得： ，

∴a= ，b=1，

∴这个二次函数解析式为 ，C（0，﹣4）

（2）

解：设P点坐标为（x，0），则BP=2﹣x，S△ABC=

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△BPE∽△BAC，

∴ =（ ）2，即： =（ ）2，

∴ ，

又∵ ，

∴S△PCE=S△BCP﹣S△BPE=2（2﹣x）﹣ = ，

∴x=﹣1时，△PCE面积有最大值为3

（3）

解：存在M点．①如图，过点D作DM垂直x轴交AC于M，

∵A（﹣4，0），C（﹣4，0），

∴DM=AD=2=DO，

∴M（﹣2，﹣2）；

②如图，设DO的中垂线交AC于点M，则MD=MO，

由A、C两点坐标可知AC的解析式为y=﹣x﹣4，

将x=﹣1代入可得y=﹣3，

∴M（﹣1，﹣3）．

综上所述，点M的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣2，﹣2）

【解析】（1）将A、B两点坐标代入解析式直接求出a、b即可；（2）设出P点横坐标，由于PE∥AC，则△BPE和△BAC相似，根据面积比是相似比的平方得出△BPE的面积表达式，用△PCB的面积减去△BPE的面积就是S，再利用配方法求最值即可；（3）分两种情况讨论：①DO=DM；②MD=MO．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的概念的相关知识，掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．