题目内容
【题目】在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点.
(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;
(2)如图2,连接AH,GH.
小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形;
想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.
…
请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH.(一种方法即可)
【答案】
(1)
解:解:∵正方形中ABCD和正方形DEFG,
∴△ABD,△GDF为等腰直角三角形.
∵AB=1,DG=2,
∴由勾股定理得BD= ,DF=2
.
∵B、D、F共线,
∴BF=3 .
∵H是BF的中点,
∴BH= BF=
(2)
解:证法一:
如图1,延长AH交EF于点M,连接AG,GM,
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,
∴AB∥EF.
∴∠ABH=∠MFH.
又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,
∴△ABH≌△MFH.
∴AH=MH,AB=MF.
∵AB=AD,
∴AD=MF.
∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,
∴△ADG≌△MFG.
∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.
又∵∠DGM+∠MGF=90°,
∴∠AGD+∠DGM=90°.
∴△AGM为等腰直角三角形.
∵AH=MH,
∴AH=GH,AH⊥GH.
证法二:
如图2,连接AC,GE分别交BF于点M,N,
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,
∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM= BD,DN=
DF.
∴∠AMD=∠GNH=90°,MN= BF.
∵H是BF的中点,
∴BH= BF.
∴BH=MN.
∴BH﹣MH=MN﹣MH.
∴BM=HN.
∵AM=BM=DM,
∴AM=HN=DM.
∴MD+DH=NH+DH.
∴MH=DN.
∵DN=GN,
∴MH=GN.
∴△AMH≌△HNG.
∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.
∵∠HGN+∠GHN=90°,
∴∠AHM+∠GHN=90°.
∴∠AHG=90°.
∴AH⊥GH.
∴AH=GH,AH⊥GH.
【解析】(1)先根据勾股定理得出AB,DG,进而求出BF,即可得出结论;(2)证法一、先判断△ABH≌△MFH,进而判断出△ADG≌△MFG.即可判断出△AGM为等腰直角三角形,即可得出结论;证法二、先判断出MN= BF.进而判断出△AMH≌△HNG,即可判断出∠AHM+∠GHN=90°.即可得出结论.
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等即可以解答此题.
