题目内容

【题目】在正方形ABCD和正方形DEFG中,顶点B、D、F在同一直线上,H是BF的中点.
(1)如图1,若AB=1,DG=2,求BH的长;

(2)如图2,连接AH,GH.

小宇观察图2,提出猜想:AH=GH,AH⊥GH.小宇把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:延长AH交EF于点M,连接AG,GM,要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形;
想法2:连接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.

请你参考上面的想法,帮助小宇证明AH=GH,AH⊥GH.(一种方法即可)

【答案】
(1)

解:解:∵正方形中ABCD和正方形DEFG,

∴△ABD,△GDF为等腰直角三角形.

∵AB=1,DG=2,

∴由勾股定理得BD= ,DF=2

∵B、D、F共线,

∴BF=3

∵H是BF的中点,

∴BH= BF=


(2)

解:证法一:

如图1,延长AH交EF于点M,连接AG,GM,

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,

∴AB∥EF.

∴∠ABH=∠MFH.

又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF,

∴△ABH≌△MFH.

∴AH=MH,AB=MF.

∵AB=AD,

∴AD=MF.

∵DG=FG,∠ADG=∠MFG=90°,

∴△ADG≌△MFG.

∴∠AGD=∠MGF,AG=MG.

又∵∠DGM+∠MGF=90°,

∴∠AGD+∠DGM=90°.

∴△AGM为等腰直角三角形.

∵AH=MH,

∴AH=GH,AH⊥GH.

证法二:

如图2,连接AC,GE分别交BF于点M,N,

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线,

∴AC⊥BF,GE⊥BF,DM= BD,DN= DF.

∴∠AMD=∠GNH=90°,MN= BF.

∵H是BF的中点,

∴BH= BF.

∴BH=MN.

∴BH﹣MH=MN﹣MH.

∴BM=HN.

∵AM=BM=DM,

∴AM=HN=DM.

∴MD+DH=NH+DH.

∴MH=DN.

∵DN=GN,

∴MH=GN.

∴△AMH≌△HNG.

∴AH=GH,∠AHM=∠HGN.

∵∠HGN+∠GHN=90°,

∴∠AHM+∠GHN=90°.

∴∠AHG=90°.

∴AH⊥GH.

∴AH=GH,AH⊥GH.


【解析】(1)先根据勾股定理得出AB,DG,进而求出BF,即可得出结论;(2)证法一、先判断△ABH≌△MFH,进而判断出△ADG≌△MFG.即可判断出△AGM为等腰直角三角形,即可得出结论;证法二、先判断出MN= BF.进而判断出△AMH≌△HNG,即可判断出∠AHM+∠GHN=90°.即可得出结论.
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等即可以解答此题.

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