题目内容
【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.
【答案】
(1)解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB= = =2 ,
∴OA= AB= ,
∵OD⊥AB,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
又∵∠A=∠A,
∴△AOE∽△ACB,
∴ ,即 ,
解得:OE=
(2)解:∠CDE=2∠A,理由如下:
连接OC,如图所示:
∵OA=OC,
∴∠1=∠A,
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
∴∠2+∠CDE=90°,
∵OD⊥AB,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠CDE,
∵∠3=∠A+∠1=2∠A,
∴∠CDE=2∠A.
【解析】(1)由圆周角定理得出∠ACB=90°,由勾股定理求出AB= =2 ,得出OA= AB= ,证明△AOE∽△ACB,得出对应边成比例即可得出答案;(2)连接OC,由等腰三角形的性质得出∠1=∠A,由切线的性质得出OC⊥CD,得出∠2+∠CDE=90°,证出∠3=∠CDE,再由三角形的外角性质即可得出结论.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.
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