题目内容

【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D.
(1)若AC=4,BC=2,求OE的长.
(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.

【答案】
(1)解:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB= = =2

∴OA= AB=

∵OD⊥AB,

∴∠AOE=∠ACB=90°,

又∵∠A=∠A,

∴△AOE∽△ACB,

,即

解得:OE=


(2)解:∠CDE=2∠A,理由如下:

连接OC,如图所示:

∵OA=OC,

∴∠1=∠A,

∵CD是⊙O的切线,

∴OC⊥CD,

∴∠OCD=90°,

∴∠2+∠CDE=90°,

∵OD⊥AB,

∴∠2+∠3=90°,

∴∠3=∠CDE,

∵∠3=∠A+∠1=2∠A,

∴∠CDE=2∠A.


【解析】(1)由圆周角定理得出∠ACB=90°,由勾股定理求出AB= =2 ,得出OA= AB= ,证明△AOE∽△ACB,得出对应边成比例即可得出答案;(2)连接OC,由等腰三角形的性质得出∠1=∠A,由切线的性质得出OC⊥CD,得出∠2+∠CDE=90°,证出∠3=∠CDE,再由三角形的外角性质即可得出结论.
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点,需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.

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