题目内容
【题目】如图,点E为矩形ABCD的边BC的中点,以DE为直径的⊙O交AD于H点,过点H作HF⊥AE于点F.
(1)求证:HF是⊙O的切线;
(2)若DH=3,AF=2,求⊙O的半径.
【答案】
(1)证明:连接OH,
∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=BA,∠C=∠B=90°,
∵E是BC的中点,
∴CE=BE,
∴△CDE≌△BAE(SAS),
∴ED=EA,
∴∠EDA=∠EAD,
∵OD=OH,
∴∠EDA=∠OHD,
∴∠EAD=∠OHD,
∴OH∥AE,
∵HF⊥AE,
∴HF⊥OH,
∵点H为⊙O上,OH为⊙O的半径,
∴HF是⊙O的切线
(2)解:连接EH,
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DHE=90°,
∵∠C=∠B=90°,
∴四边形HECD是矩形,
∴CE=DH,
同理:BE=AH,
∵CE=BE,
∴DH=AH=3,
∵CB∥AD,
∴∠BEA=∠EAD,
∵∠HFA=∠B=90°,
∴△FHA∽△BAE,
∴ ,
∴ ,
∴AE= ,
∴OD= DE= AE= × = ,
∴⊙O的半径为 .
【解析】(1)连接半径OH,证明HF⊥OH即可;(2)连接EH,证明四边形HECD是矩形,则CE=DH,同理:BE=AH,再证明△FHA∽△BAE,列比例式为: ,求AE的长,由(1)知:DE=AE,且DE是直径,由此可得半径的长.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用矩形的性质和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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