题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x与反比例函数y= 在第一象限内的图象相交于点A(m,3).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)将直线y= x沿y轴向上平移8个单位后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B,连接AB,这时恰好AB⊥OA,求tan∠AOB的值;
(3)在(2)的条件下,在射线OA上存在一点P,使△PAB∽△BAO,求点P的坐标.
【答案】
(1)
解:∵点A(m,3)在直线y= x上
∴3= m,
∴m=3 ,
∴点A(3 ,3),
∵点A(3 ,3)在反比例函数y= 上,
∴k=3 ×3=9 ,
∴y=
(2)
解:直线向上平移8个单位后表达式为:y= x+8
∵AB⊥OA,直线AB过点A(3 ,3)
∴直线AB解析式:y=﹣ x+12,
∴ x+8=﹣ x+12,
∴x= .
∴B( ,9),
∴AB=4
在Rt△AOB中,OA=6,
∴tan∠AOB=
(3)
解:∵△APB∽△ABO,
∴ ,
由(2)知,AB=4 ,OA=6
即
∴AP=8,
∵OA=6,
∴OP=14,
过点A作AH⊥x轴于H
∵A(3 ,3),
∴OH=3 ,AH=3,
在Rt△AOH中,
∴tan∠AOH= = = ,
∴∠AOH=30°
过点P作PG⊥x轴于G,
在Rt△APG中,∠POG=30°,OP=14,
∴PG=7,OG=7
∴P(7 ,7).
【解析】(1)先确定出点A坐标,再用待定系数法求出反比例函数解析式;(2)先求出直线AB解析式,进而得出点B坐标秒即可得出结论;(3)利用相似三角形的性质得出AP,进而求出OP,再求出∠AOH=30°,最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论.
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