题目内容
【题目】如图，
是
的直径，弦
于点
，
是
上一点，
，
的延长线交于点
，连接
，
，
．
（1）求证：
．
（2）已知
，
．
①求的半径长．
②若点是
的中点，求
与
的面积之比．
【答案】(1)详见解析;(2)①5;②
【解析】
（1）连接
，根据直径所对的圆周角是直角可得
，从而得出
，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得
，从而得出
，即可证出结论；
（2）①根据垂径定理和条件可得
，连接
，设
的半径为
，根据勾股定理列出方程即可求出结论；
②由①结论求出AE、DE，根据勾股定理求出AD，根据相似三角形的判定定理可得
，列出比例式即可求出AG和AF，然后利用勾股定理求出EF，即可求出FD，根据三角形中线的性质可得
，最后根据等高的两个三角形面积比等于底之比即可求出结论．
（1）证明：连接
∵
是的直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）①∵，
∴
连接，设的半径为
则
，
，
∴
解得
即的半径长为5．
②∵
，
∴
∵，
∴
∴
∵点
是
的中点
∴
∴
，
∴
∴
∴点是的中点
∴
∴
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