Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，延长CE于F，连接BF使BF∥CD，连接DE交对角线AC于H．
（1）求证：△ACD≌△ACE；
（2）若CE平分∠ACB，CE=5，求BF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角梯形

专题：

分析：（1）求出∠DAC=∠EAC=45°，根据SAS推出两三角形全等即可；
（2）延长DA，交BF延长线于M，延长BA、CD交于O，求出FBCA四点共圆，求出AM=AF，AF=BF，推出BM=CD=CE，即可得出BF=

1

2

CE，求出即可．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB=CB，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°，
在△AEC和△ADC中

AC=AC ∠EAC=∠DAC AE=AD

∴△AEC≌△ADC；

（2）解：延长DA，交BF延长线于M，延长BA、CD交于O，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=22.5°，
∵△AEC≌△ADC，
∴∠DCA=∠ACE=22.5°，
∴∠O=180°-90°-45°-22.5°=22.5°，
∵BF∥CD，
∴∠FBE=22.5°，
∴在△BCF中，∠BFC=180°-22.5°-90°-22.5°=45°=∠BAC，
∴F、A、B、C共圆，
∴∠MFA=∠BCA=45°，
∵AD∥BC，BF∥CD，
∴四边形BMDC是平行四边形，
∴BM=CD=CE，∠M=∠DCB=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MAF=180°-67.5°-45°=67.5°=∠M，
∴AF=MF，
∵∠BAM=90°，∠FAM=67.5°，
∴∠FAB=22.5°=∠FBA，
∴AF=BF，
即BF=MF=

1

2

BM=

1

2

CE=

1

2

×5=2.5．

点评：本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性．