Question

如图：在⊙O中，经过⊙O内一点P有一条弦AB，且AP=4，PB=3，过P点另有一动弦CD，连结AC，DB．设CP=x，PD=y．

（1）求证：△ACP∽△DBP；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）若CD=8时，求S_△ACP：S_△DBP的值．

Answer 1

（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，由此得证；（2）；（3）4:9或4:1．

试题分析：（1）△ACP和△DBP中，根据圆周角定理即可得到两组对应角相等，由此得证；
（2）根据相似三角形得到的比例线段即可求出y、x的函数关系式；
（3）已知CD=CP+PD=8，联立（2）的函数关系式，即可求得CP、PD的长，进而可根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出所求的结果．
（1）∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP；
（2）由（1）得CP:BP=AP:PD即，解得；
（3）由CD=8即和解得或 
则S_△ACP：S_△DBP=4:9或4:1．
点评：解题的关键是熟练掌握圆周角定理：同弧等等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半.