题目内容
【题目】如图,抛物线y=﹣++2与x轴相交于A,B两点,(点A在B点左侧)与y轴交于点C.
(1)求A,B两点坐标.
(2)连结AC,若点P在第一象限的抛物线上,P的横坐标为t,四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S,并求t为何值时,S最大.
(3)在(2)的基础上,在整条抛物线上和对称轴上是否分别存在点G和点H,使以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出G,H的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(﹣,0),B(2,0);(2)当t=时,S最大=4;(3)满足条件的点P的坐标为G(﹣,﹣),H(,﹣)或G(,﹣),H(,﹣)或G(﹣,),H(,).
【解析】
(1)令y=0,则解得或,即可求出A,B两点坐标.
(2)点P作PQ⊥x轴于Q,P的横坐标为t,设P(t,p),则, 根据S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB列出S与t的函数关系式,根据二次函数的性质t为何值时,S最大.
(3)抛物线的对称轴为:分别画出示意图,根据平行四边形的性质即可求出G,H的坐标.
解:(1)针对于抛物线,
令y=0,则
解得或
∴
(2)针对于抛物线
令x=0,
∴y=2,
∴C(0,2),
如图1,点P作PQ⊥x轴于Q,
∵P的横坐标为t,
∴设P(t,p),
∴,
∴S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB
,
∴当时,S最大
(3)满足条件的点的坐标为G(﹣,﹣),H(,﹣)或G(,﹣),H(,﹣)或G(﹣,),H(,).
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