题目内容
【题目】先仔细阅读材料,再尝试解决问题:
完全平方公式x2±2xy+y2=(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x﹣4的最大(小)值时,我们可以这样处理:
解:原式=2(x2+6x﹣2)
=2(x2+6x+9﹣9﹣2)
=2[(x+3)2﹣11]
=2(x+3)2﹣22
因为无论x取什么数,都有(x+3)2的值为非负数,所以(x+3)2的最小值为0,此时x=﹣3,进而2(x+3)2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22,所以当x=﹣3时,原多项式的最小值是﹣22
解决问题:
请根据上面的解题思路,探求
(1)多项式3x2﹣6x+12的最小值是多少,并写出对应的x的取值.
(2)多项式﹣x2﹣2x+8的最大值是多少,并写出对应的x的取值.
【答案】(1)当x=1时,原多项式的最小值是9;(2)当x=﹣1时,原多项式的最大值是9.
【解析】
试题分析:(1)先把给出的式子化成完全平方的形式,再根据非负数的性质即可得出答案;
(2)根据完全平方公式把给出的式子进行整理,即可得出答案.
解:(1)3x2﹣6x+12
=3(x2﹣2x+4)
=3(x2﹣2x+1﹣1+4)
=3(x﹣1)2+9,
∵无论x取什么数,都有(x﹣1)2的值为非负数,
∴(x﹣1)2的最小值为0,此时x=1,
∴3(x﹣1)2+9的最小值为:3×0+9=9,
则当x=1时,原多项式的最小值是9;
(2)﹣x2﹣2x+8
=﹣(x2+2x﹣8)
=﹣(x2+2x+1﹣1﹣8)
=﹣(x+1)2+9,
∵无论x取什么数,都有(x+1)2的值为非负数,
∴(x+1)2的最小值为0,此时x=﹣1,
∴﹣(x+1)2+9的最大值为:﹣0+9=9,
则当x=﹣1时,原多项式的最大值是9.
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