题目内容
【题目】（给出定义）
若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．
（理解概念）
（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是什么命题（“真”或“假”）．
（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4
，求四边形ABCD的周长．
（实际应用）已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b交于A，B两点．
（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．
（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以
个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】【理解概念】（1）凡是矩形都是跳跃四边形是真命题；（2）四边形ABCD的周长为12+4
或12+8或9+5；【实际应用】（3）
，
；（4）使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=
，t=
，t=
，t=
.
【解析】
理解概念：（1）由定义可直接得；
（2）分情况∠DAC=90°和∠ADC=90°两种情况讨论，可求四边形ABCD的周长；
实际应用：（3）根据点B，点C关于对称轴对称，可求点C坐标，用待定系数法可求抛物线解析式；
（4）由题意可证△ABO∽△BPQ，可证PQ⊥AB，四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，可得△BPQ∽△PQM，分∠PQM=90°或∠PMQ=90°两种情况讨论，可求t的值．
理解概念：（1）∵矩形的对角线所分的两个三角形全等
∴凡是矩形都是跳跃四边形是真命题
故答案为：凡是矩形都是跳跃四边形是真命题．
（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4
∴AC=2，BC=6
当∠CAD=90°时，
如图1：
∵四边形ABCD为“跳跃四边形”
∴△ABC∽△CAD
∴
或
∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4
或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8
若∠ADC=90°
如图2：
∵四边形ABCD为“跳跃四边形”
∴△ABC∽△CAD
∴
或
∴AD=，CD=3或AD=3，CD=
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5
或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5
综上所述：四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5
实际应用：（3）∵抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点
∴顶点坐标为（0，m），对称轴为y轴，点B，点C关于对称轴对称
∴点C（2，0）
∵抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A，点B
∴
∴m=b=4，a=﹣1
∴抛物线解析式y=﹣x2+4
∵P，Q两点分别以
个单位/秒，5个单位/秒的速度
∴设运动时间为t
∴BP=t，BQ=5t
∵点A（0，4），点B（﹣2，0）
∴OA=4，OB=2
∴AB=2
∵
且∠ABO=∠PBQ
∴△ABO∽△PBQ
∴∠AOB=∠BPQ=90°
∵四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形
∴△BPQ∽△PQM
∴△PQM是直角三角形
①若∠PQM=90°时，且BP与QM是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．
如图3
∵△BPQ∽△PQM
∴
∴BP=QM，PM=BQ
∴四边形BPMQ是平行四边形
∴BP∥QM
∴∠PBD=∠MQE
∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ
∴△BPD≌△MQE
∴PD=ME，BD=QE
∵PD∥AO
∴
∴
∴BD=t，PD=2
∴QE=t，ME=2t
∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2
∴M（6t﹣2，2t），且点M在抛物线上
∴2t=﹣（6t﹣2）2+4
∴t=
②若∠PQM=90°时，且BP与PQ是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．
如图4
∵△BPD∽△MQE
∴
即
∴QM=4t
∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°
∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°
∴△BPQ∽△MEQ
∴
∴ME=8t，QE=4t
∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2
∴M（9t﹣2，8t），且点M在抛物线上
∴8t=﹣（9t﹣2）2+4
∴t=
③若∠PMQ=90°，BP与MQ是对应边，过点P作PD⊥BC
如图5
∵△BPQ∽△MQP
∴∠PQB=∠MPQ
∴PM∥BC
∵MQ⊥PM
∴MQ⊥BC，且PD⊥BC
∴MQ∥PD
∴四边形PDQM是平行四边形且PD⊥BC
∴四边形PDQM是矩形
∴PD=MQ
∵BD=t，PD=2t，BQ=5t
∴QM=2t
∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2
∴M（5t﹣2，2t）且点M在抛物线上
∴2t=﹣（5t﹣2）2+4
∴t=
若若∠PMQ=90°，BP与MP是对应边，过点M作EF∥BC，过点P作PD⊥BC，延长DP交EF于F，
过点Q作EQ⊥EF于F．
如图6
∵△BPQ∽△PMQ
∴∠MQP=∠BQP
又∵PD⊥BC，PM⊥MQ
∴PD=PM=2t
∵PD=PM，PQ=PQ
∴△PDQ≌△PQM
∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t
∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC
∴DF⊥EF，EQ⊥BC
∴四边形EFDQ是矩形
∴EF=DQ=4t
∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°
∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°
∴△FMP∽△MEQ
∴
∴EQ=2FM
在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2
∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2
∴FM=
t
∴EQ=
t
∴M（
t﹣2， t），且点M在抛物线上
∴ t=﹣（ t﹣2）2+4
∴t=
综上所述：使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=
，t= ，t= ，t=
