题目内容

如图1,已知点D在A上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为BC的中点

(1)求证:△BMD为等腰直角三角形.
(2)将△ADE绕点A逆时针旋转45°,如图2中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立?请说明理由.
(3)将△ADE绕点A任意旋转一定的角度,如图3中的“△BMD为等腰直角三角形”是否均成立?说明理由.
(1)(2)(3)见解析

试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°,推出BM=DM,BM=CM,DM=CM,推出∠BCM=∠MBC,∠ACM=∠MDC,求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可.
(2)延长ED交AC于F,求出DM=FC,DM∥FC,∠DEM=NCM,根据ASA推出△EDM≌△CNM,推出DM=BM即可.
(3)过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,推出△MDE≌△MFC,求出DM=FM,DE=FC,作AN⊥EC于点N,证△BCF≌△BAD,推出BF=BD,∠DBA=∠CBF,求出∠DBF=90°,即可得出答案.
试题解析:(1)证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°,
∵点M为BC的中点,
∴BM=EC,DM=EC,
∴BM=DM,BM=CM,DM=CM,
∴∠BCM=∠MBC,∠DCM=∠MDC,
∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE,
同理∠DME=2∠ACM,
∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°
∴△BMD是等腰直角三角形.
(2)如图2,△BDM是等腰直角三角形,

理由是:延长ED交AC于F,
∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠EAD=45°,
∵AD⊥ED,
∴ED=DF,
∵M为EC中点,
∴EM=MC,
∴DM=FC,DM∥FC,
∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°,
∵ED⊥AB,BC⊥AB,
∴ED∥BC,
∴∠DEM=NCM,
在△EDM和△CNM中

∴△EDM≌△CNM(ASA),
∴DM=MN,
∴BM⊥DN,
∴△BMD是等腰直角三角形.
(3) △BDM是等腰直角三角形,
理由是:如图:过点C作CF∥ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,

可证得△MDE≌△MFC,
∴DM=FM,DE=FC,
∴AD=ED=FC,
作AN⊥EC于点N,
由已知∠ADE=90°,∠ABC=90°,
可证得∠DEN=∠DAN,∠NAB=∠BCM,
∵CF∥ED,
∴∠DEN=∠FCM,
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD,
∴△BCF≌△BAD,
∴BF=BD,∠DBA=∠CBF,
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,
∴△DBF是等腰直角三角形,
∵点M是DF的中点,
则△BMD是等腰直角三角形,
考点: 1.全等三角形的判定与性质;2.直角三角形斜边上的中线;3.等腰直角三角形.
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