题目内容
如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.
⑴ 求点C的坐标;
⑵ 连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;
⑶ 在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
⑴ 求点C的坐标;
⑵ 连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;
⑶ 在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
(1)C(5,-4)(2)能,理由见解析(3)Q1(5, -4) Q2(5.84,-2.88)Q3(,)
解: ⑴ C(5,-4);(过程1分,纵、横坐标答对各得1分) ………… 3分
⑵ 能 …………………………………4分
连结AE ,∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°. …………5分
在△ABE与△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA . ……………………………………7分
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . …………………8分
⑶ 分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:
①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;
②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;
③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
解题过程:
① 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12=BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合题意; ……………………………9分
② 当Q2点在线段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°
∴点Q2为AQ2在BE上的垂足, ……………………10分
∴AQ2== 4.8(或).
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
∴点Q2(5.84,-2.88), ………………………11分
③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,
则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,
故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, ……………………12分
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得, ………………………13分
即得t=,
〖注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,
即Q3(,) . …………14分
方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4),
∴直线BE的解析式是 . ………………12分
设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴ , 即 , ………………13分
∴t= ,进而点Q3的纵坐标为,∴Q3(,). ………14分
方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA,,
在R t△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),
∴可得直线AF的解析式为 , …………………12分
又直线BE的解析式是 , ………………13分
∴可得交点Q3(,). ……………………14分
(1)根据切割线定理求OD,,即可求得C的纵坐标,由图即可求得C的横坐标
(2)连结AE,通过AB2=BP· BE,求得△ABE∽△PBA, 因为BE是⊙O的直径, 所以∠BAE=90°,从而求得AP⊥BE
⑶假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
⑵ 能 …………………………………4分
连结AE ,∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°. …………5分
在△ABE与△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA . ……………………………………7分
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE . …………………8分
⑶ 分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:
①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;
②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;
③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
解题过程:
① 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12=BQ1· EQ1 ,
∴Q1(5, -4)符合题意; ……………………………9分
② 当Q2点在线段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°
∴点Q2为AQ2在BE上的垂足, ……………………10分
∴AQ2== 4.8(或).
∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
∴点Q2(5.84,-2.88), ………………………11分
③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,
则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,
故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, ……………………12分
由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得, ………………………13分
即得t=,
〖注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
∴Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,
即Q3(,) . …………14分
方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4),
∴直线BE的解析式是 . ………………12分
设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB,
∴ , 即 , ………………13分
∴t= ,进而点Q3的纵坐标为,∴Q3(,). ………14分
方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
∴∠Q3AB =∠Q3EA,,
在R t△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),
∴可得直线AF的解析式为 , …………………12分
又直线BE的解析式是 , ………………13分
∴可得交点Q3(,). ……………………14分
(1)根据切割线定理求OD,,即可求得C的纵坐标,由图即可求得C的横坐标
(2)连结AE,通过AB2=BP· BE,求得△ABE∽△PBA, 因为BE是⊙O的直径, 所以∠BAE=90°,从而求得AP⊥BE
⑶假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
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