题目内容

【题目】如图,锐角△ABC的两条高BECD相交于点O,且OBOCA=60°.

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.

【答案】(1)见解析;(2) O在∠BAC的平分线上理由见解析.

【解析】

(1)OB=OC,∠OBC=∠OCB.再证∠BEC=∠CDB=90°(AAS)可证△BCE≌△CBD,则∠DBC=∠ECB,所以,含有60°的等腰三角形是等边三角形;(2)由(1△BCE≌△CBD,得,EB=CD.OB=OC,所以OE=OD,再由角平分线性质定理可证得.

(1)证明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.

∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BEC=∠CDB=90°.

∵BC=BC,∴△BCE≌△CBD(AAS),

∴∠DBC=∠ECB,∴AB=AC.

∵∠A=60°,

∴△ABC是等边三角形.

(2)解:点O在∠BAC的平分线上.

理由如下:连接AO.(1)可知△BCE≌△CBD,∴EB=CD.

∵OB=OC,∴OE=OD.

又∵OE⊥AC,OD⊥AB,

∴点O在∠BAC的平分线上.

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