题目内容
【题目】如图,锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O,且OB=OC,∠A=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 点O在∠BAC的平分线上,理由见解析.
【解析】
(1)由OB=OC,得∠OBC=∠OCB.再证∠BEC=∠CDB=90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD,则∠DBC=∠ECB,所以,含有60°的等腰三角形是等边三角形;(2)由(1△BCE≌△CBD,得,EB=CD.又OB=OC,所以OE=OD,再由角平分线性质定理可证得.
(1)证明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BEC=∠CDB=90°.
又∵BC=BC,∴△BCE≌△CBD(AAS),
∴∠DBC=∠ECB,∴AB=AC.
又∵∠A=60°,
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:点O在∠BAC的平分线上.
理由如下:连接AO.由(1)可知△BCE≌△CBD,∴EB=CD.
∵OB=OC,∴OE=OD.
又∵OE⊥AC,OD⊥AB,
∴点O在∠BAC的平分线上.

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