题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=（ ）．
A. 60° B. 45° C. 30° D. 15°
【答案】D
【解析】分析：先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=
∠ABC，∠DCB=
∠ACB．在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=
（∠ABC+∠ACB）=
（180°﹣∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=
∠MBC，∠1=
∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=
（∠NCB+∠NCB）=150°．在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=
∠E．
详解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°，∴∠DBC=
∠ABC，∠DCB=
∠ACB，∴∠DBC+∠DCB=
（∠ABC+∠ACB）=
（180°﹣∠A）=
×（180°﹣60°）=60°，∴∠MBC+∠NCB=360°﹣60°=300°．∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6=
∠MBC，∠1=
∠NCB，∴∠5+∠6+∠1=
（∠NCB+∠NCB）=150°，∴∠E=180°﹣（∠5+∠6+∠1）=180°﹣150°=30°．∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4．∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，∴2∠F=∠E，∴∠F=
∠E=
×30°=15°．
故选D．
