题目内容

【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且B(1,0),C(0,3),将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°,C点恰好与A重合.

(1)求该二次函数的解析式;
(2)若点P为线段AB上的任一动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连结CP,求△PCE面积S的最大值;
(3)设抛物线的顶点为M,Q为它的图象上的任一动点,若△OMQ为以OM为底的等腰三角形,求Q点的坐标.

【答案】
(1)

解:∵B(1,0),C(0,3),

∴OB=1,OC=3.

∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°,C点恰好与A重合.

∴OA=OC=3,

∴A(﹣3,0),

∵点A,B,C在抛物线上,

∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:设点P(x,0),则PB=1﹣x,

∵A(﹣3,0),B(1,0),

∴AB=4,

∵C(0,3),

∴OC=3,

∴SABC= AB×OC=6,

∵PE∥AC,

∴△BPE∽△BAC,

∴SPBE= (1﹣x)2

∴SPCE=SPBC﹣SPBE= PB×OC﹣ (1﹣x)2= (1﹣x)×3﹣ (1﹣x)2=﹣ (x+1)2+

当x=﹣1时,SPCE的最大值为


(3)

解:∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

∴顶点坐标(﹣1,4),

∵△OMQ为等腰三角形,OM为底,

∴MQ=OQ,

=

∴8x2+18x=7=0,

∴x=

∴y= 或y=

∴Q( ),或( ).


【解析】(1)先求出点A坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先求出SPCE=SPBC﹣SPBE=﹣ (x﹣1)2+ ,即可求出最大面积;(3)先求出抛物线顶点坐标,由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q坐标.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.

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